Εφαπτομένες

Εξίσωση εφαπτομένης

Παραδείγματα στην εύρεση της εξίσωσης εφαπτομένης.

Άσκηση 1

Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της \( f\left( x \right) = 2{x^3} + {x^2} + x - 2 \) στο σημείο της \( {\rm A}\left( {0,f\left( 0 \right)} \right) \)

Λύση

Η f είναι παραγωγίσιμη στο \( \mathbb{R} \) με \( f’\left( x \right) = 6{x^2} + 2x + 1\)

Η εξίσωση εφαπτομένης της στο σημείο Α είναι:

\[ y - f\left( 0 \right) = f’\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right) \Leftrightarrow \] \[ y - \left( { - 1} \right) = 1\left( {x - 0} \right) \Leftrightarrow \] \[y = x - 1 \]

Άσκηση 2

Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της \(f\left( x \right) = {x^2} - x + 2\) η οποία:

α) Είναι παράλληλη στην ευθεία \(\left( \varepsilon_1 \right):y = 3x - 1\) (Δηλαδή έχει κλίση ίση με 3 ή αλλιώς έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με 3).

β) Είναι κάθετη στην ευθεία \(\left( \varepsilon_1 \right):3y - x + 1 = 0\)

γ) Σχηματίζει με τον άξονα xx’ γωνία 135ο

δ) Διέρχεται από το σημείο \({\rm A}\left( {0, - 2} \right)\)

Λύση

Η f είναι παραγωγίσιμη στο \( \mathbb{R} \) με \(f’\left( x \right) = 2x - 1\).

Το σημείο επαφής δεν είναι γνωστό σε κάνενα από τα ερωτήματα, οπότε υποθέτουμε ότι αυτό είναι το \(\left( {x_0},f\left( {x_0} \right) \right)\).

α) Εφόσον η εξίσωση εφαπτομένης είναι παράλληλη στην ευθεία \(\varepsilon _1\) τότε θα έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης, δηλαδή:

\({\lambda _{\varepsilon \varphi }} = {\lambda _{\varepsilon _1}} \Leftrightarrow f’\left( \right) = 3 \Leftrightarrow 2{x_0} - 1 = 3 \Leftrightarrow {x_0} = 2\)

Οπότε η εξίσωση εφαπτομένης στο σημείο \(\left( {2,f\left( 2 \right)} \right)\) είναι:

\[y - f\left( 2 \right) = f’\left( 2 \right)\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow \] \[y - 4 = 3\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow \] \[y = 3x - 2\]

β) Εφόσον η εξίσωση εφαπτομένης είναι κάθετη στην ευθεία \(\varepsilon _2 \) τότε το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης θα ισούται με -1, δηλαδή:

\[{\lambda _{\varepsilon \varphi }}{\lambda _{\varepsilon _2}} = - 1 \Leftrightarrow \frac{1}{3}f’\left( {x_0} \right) = - 1 \Leftrightarrow 2x_0 - 1 = - 3 \Leftrightarrow x_0 = - 1\]

Οπότε η εξίσωση εφαπτομένης στο σημείο \(\left( { - 1,f\left( { - 1} \right)} \right) \) είναι: \[y - f\left( { - 1} \right) = f’\left( { - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow \] \[y - 2 = - 3\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow \]
\[y = - 3x - 1 \]

γ) Εφόσον η εξίσωση εφαπτομένης σχηματίζει γωνία \(135^0\) με τον άξονα \(x’x\) τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της θα ισούται με την εφαπτομένη των (135^0\), δηλαδή:

\[{\lambda _{\varepsilon \varphi }} = \varepsilon \varphi {135^0} \Leftrightarrow f’\left( {x_0} \right) = - 1 \Leftrightarrow 2x_0 - 1 = - 1 \Leftrightarrow x_0 = 0\]

Οπότε η εξίσωση εφαπτομένης στο σημείο \(\left( {0,f\left( 0 \right)} \right)\) είναι:

\[y - f\left( 0 \right) = f’\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right) \Leftrightarrow \] \[y - 2 = - 1\left( {x - 0} \right) \Leftrightarrow \] \[y = - x + 2 \]

δ) Η εξίσωση εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της \({\rm A}\left( {x_0,f\left( {x_0} \right)} \right) \) είναι: \[y - f\left( {x_0} \right) = f’\left( {x_0} \right)\left( {x - x_0} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\]

Εφόσον διέρχεται από το σημείο \({\rm A}\left( {0, - 2} \right)\) τότε οι συντεταγμένες του Α θα επαληθεύουν την εξίσωση της εφαπτομένης.

Οπότε για \(x = 0\) και \(y = - 1\) η \(\left( 1 \right)\) γίνεται:

\[ - 2 - f\left( {x_0} \right) = f’\left( {x_0} \right)\left( { - x_0} \right) \Leftrightarrow \] \[ - 2 - x_0^2 + x_0 - 2 = \left( {2x_0 - 1} \right)\left( { - x_0} \right) \Leftrightarrow \] \[ - 2 - x_0^2 + x_0 - 2 = - 2x_0^2 + x_0 \Leftrightarrow \]

Άρα οι εφαπτομένες που διέρχονται από το σημείο \({\rm A}\left( {0, - 2} \right)\) είναι οι εξής δύο:

Στο σημείο \(\left( {2,f\left( 2 \right)} \right) \) είναι η:

\[y - f\left( 2 \right) = f’\left( 2 \right)\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow \] \[y - 4 = 3\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow \] \[y = 3x - 2\] Στο σημείο \(\left( { - 2,f\left( { - 2} \right)} \right)\) είναι η:

\[y - f\left( { - 2} \right) = f’\left( { - 2} \right)\left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow \] \[y - 8 = - 5\left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow \] \[y = - 5x - 2\]

Άσκηση 3

Να αποδείξετε ότι η ευθεία \(\left( \varepsilon \right):y = x -e\) εφάπτεται στην γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f\left( x \right) = xlnx -x\)

Λύση

Η f είναι παραγωγίσιμη στο \(\mathbb{R}\) με \(f’\left( x \right) = lnx+x\cdot \frac{1}{x}-1=lnx\)

Έστω \(\left( {x_0,f\left( {x_0} \right)} \right)\) ένα σημείο της γραφικής παράστασης της f. Για να εφάπτεται η ε στην \({C_f}\) θα πρέπει το παρακάτω σύστημα να έχει λύση.

Επομένως η ευθεία \(\left( \varepsilon \right):y = x -e\) εφάπτεται στην γραφική παράσταση της f στο σημείο \(\left( {x_0,f\left( {x_0} \right)} \right)\)

Άσκηση 4

Δίνονται οι συναρτήσεις \(f\left( x \right) = x^2\) και \(g\left( x \right) = \frac{{x^2 + x - 1}}{x}\) .

Να βρείτε την κοινή εφαπτομένη των \({C_f}\) και \({C_g}\) στο κοινό τους σημείο.

Λύση

Η f είναι έχει πεδίο ορισμού το R και είναι παραγωγίσιμη στο R με: \(f’\left( x \right) = 2x\)

Η g είναι έχει πεδίο ορισμού το R* και είναι παραγωγίσιμη στο R* με:

\(g’\left( x \right) = \frac{{\left( {2x + 1} \right)x - \left( {{x^2} + x - 1} \right)}}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^2} + x - {x^2} - x + 1}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2}}}\)

Για να έχουν οι \({C_f}\) και \({C_g}\) κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο \(\left( {{x_0},f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) θα πρέπει το παρακάτω σύστημα να έχει λύση:

Οπότε οι \({C_f}\) και \({C_g}\) έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο \( \left (1,f(1) \right ) \) την:

Σχόλιο: Η εξίσωση \( f\left( {x_0} \right) = g\left( {x_0} \right) \) έχει και λύση και την \( x_0=-1 \) δηλαδή οι \({C_f}\) και \({C_g}\) έχουν δυο κοινά σημεία. Ωστώσο μόνο στο \( x_0=1 \) έχουν κοινή εφαπτομένη.

Άσκηση 5

Δίνονται οι συναρτήσεις και . Να βρείτε τις κοινές εφαπτομένες των γραφικών παραστάσεων των f και g.

Λύση

Οι f, g είναι ορισμένες στο R και είναι παραγωγίσιμες σε αυτό με:

και

Έστω και σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και g αντίστοιχα.

Η εξίσωση εφαπτομένης της f στο είναι:

Η εξίσωση εφαπτομένης της g στο είναι:

Για να ταυτίζονται οι και πρέπει:

Άρα τα σημεία επαφής είναι τα και και η ζητούμενη κοινή εφαπτομένη είναι η: