https://unsplash.com/

Κινηματογράφος

Μαθηματικά στην μεγάλη οθόνη

Σχολιάζουμε ταινίες που ασχολούνται με τα Μαθηματικά και μας κίνησαν το ενδιαφέρον.

Μαθηματικά και κινηματογράφος

Θα παρουσιάσουμε κάποιες ταινίες που έχουν άμεση αναφορά σε κάποιο κλάδο των μαθηματικών οι οποίες αποτελούν χαρακτηριστικό παράδειγμα του τρόπου με τον οποίο οι σεναριογράφοι του Hollywood κυρίως, έχουν στον μυαλό τους την επιστήμη των Μαθηματικών αλλά και τους Μαθηματικούς. Θα παρουσιάσουμε τα μαθηματικά λάθη που πολλές από αυτές έχουν, τα οποία κάποιες φορές είναι προφανή ακόμα και σε μαθητές ενώ κάποιες φορές είναι αρκετά δύσκολο να εντοπιστούν.

Mean girls (2004)

Θα ξεκινήσουμε με μια «ανάλαφρη» εφηβική ταινία με πρωταγωνιστές τους Lindsay Lohan και Jonathan Bennett. Η ταινία αφορά τους μαθητές ενός λυκείου οι οποίοι παίρνουν μέρος σε ένα μαθηματικό διαγωνισμό. Στον διαγωνισμό αυτό ο καθηγητής εκφωνεί την ερώτηση και ο μαθητής που γνωρίζει την απάντηση και είναι ο πιο γρήγορος κερδίζει.

Σε κάποια φάση του διαγωνισμού ο καθηγητής θέτει το παρακάτω πρόβλημα. Twice the larger of two numbers is three more than five times the smaller and the sum of four times the larger and three times the smaller is 71. What are the numbers? Το οποίο σε ελεύθερη μετάφραση έχει ως εξής: Το διπλάσιο του μεγαλύτερου από δυο αριθμούς είναι κατά 3 μεγαλύτερο από το πενταπλάσιο του μικρότερου και το άθροισμα του τετραπλάσιου του μεγαλύτερου και του τριπλάσιου του μικρότερου ισούται με 71. Ποιοι είναι οι αριθμοί;

Ας δούμε όμως και το συγκεκριμένο απόσπασμα από την ταινία.

Ας υποθέσουμε ότι σας δίνεται το προηγούμενο πρόβλημα πόσο χρόνο θα χρειαστείτε για να το λύσετε; Όσο έμπειρος και δυνατός λύτης να είναι κάποιος φαντάζομαι ότι είναι αδύνατο να το λύσει σε λιγότερο από ένα δευτερόλεπτο που χρειάστηκε ο πρωταγωνιστής της ταινίας. Ας δούμε αναλυτικά όμως τι λέει το πρόβλημα.

Το διπλάσιο του μεγαλύτερου από δυο αριθμούς είναι κατά 3 μεγαλύτερο από το πενταπλάσιο του μικρότερου και το άθροισμα του τετραπλάσιου του μεγαλύτερου και του τριπλάσιου του μικρότερου ισούται με 71. Ποιοι είναι οι αριθμοί; Το πρόβλημα ανάγεται στην επίλυση ενός γραμμικού συστήματος 2x2, όπως αυτά που διδάσκονται οι μαθητές στην Γ Γυμνασίου. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι \( x,y \) με \( x>y \) είναι οι ζητούμενοι αριθμοί. Έχουμε να λύσουμε λοιπόν το παρακάτω γραμμικό σύστημα.

Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε: \[ 13y = 65 \Leftrightarrow y = 5 \]

Και αντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση βρίσκουμε ότι: \[ 2x = 28 \Leftrightarrow x = 14\]

Δεν έχει καμιά σχέση λοιπόν με την πραγματικότητα ούτε ο τρόπος διεξαγωγής του διαγωνισμού, αλλά ούτε και ο χρόνος απάντησης από τους μαθητές. Εξάλλου η άσκηση του διαγωνισμού είναι πολύ εύκολη για μαθητές Γ Λυκείου (στην ταινία οι πρωταγωνιστές είναι 16 – 17 χρονών) ειδικά για τα διαγωνιστικά μαθηματικά. Ούτε γνωρίζουμε κάποιον μαθηματικό διαγωνισμό όπου οι στους υποψήφιους εκφωνείται το πρόβλημα και πρέπει να απαντήσουν προφορικά, με τον πιο γρήγορο να κερδίζει!

Θα συνεχίσουμε με την ίδια ταινία όπου κρύβονται και άλλα «διαμάντια». Το παρακάτω πρόβλημα έχει μεγάλο ενδιαφέρον, ειδικά για τους μαθητές της Γ Λυκείου. Ας δούμε όμως το συγκεκριμένο απόσπασμα από την ταινία.

Βρισκόμαστε στον τελικό του μαθηματικού διαγωνισμού και ο καθηγητής κάνει την εξής ερώτηση. «Να βρεθεί το όριο της εξίσωσης» Και στο πίνακα αναγράφεται το όριο:

\[ \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{ln \left( 1-x \right)-sin x}{1-{cos^{2}}x} \]

Ας ξεπεράσουμε την αρχική κρυάδα του καθηγητή που με σοβαρό ύφος ζητά να βρεθεί το όριο της εξίσωσης (που είναι η εξίσωση!) (find the limit of the equation) και ας μελετήσουμε τη συνάρτηση της οποίας ζητείται το όριο. Για την ιστορία να πούμε ότι η πρώτη διαγωνιζόμενη απαντά -1 χωρίς να δίνει κάποια εξήγηση για το πώς έφτασε σε αυτό το αποτέλεσμα. Η δεύτερη διαγωνιζόμενη (Lindsay Lohan) μετά από μια σύντομη σκέψη λίγων δευτερολέπτων και αφού αναπολήσει το αγόρι που της αρέσει, θυμάται τα λόγια μάλλον κάποιου καθηγητή της ότι δηλαδή «αν το όριο δεν πλησιάζει τίποτα τότε το όριο δεν υπάρχει!» και απαντά ότι τελικά το όριο δεν υπάρχει. Όπως θα δούμε παρακάτω το όριο δεν είναι καθόλου απλό και θα δυσκόλευε την πλειονότητα των μαθητών της Γ Λυκείου. Θέλουμε λοιπόν να υπολογίσουμε το όριο \[ \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{ln \left( 1-x \right)-sin x}{1-{cos^{2}}x} \] Αρχικά παρατηρούμε ότι όταν το x τείνει στο 0 το όριο οδηγεί στην απροσδιόριστη μορφή 0/0. Εφαρμόζοντας τον κανόνα De L’Hospital έχουμε:

\[ \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{ln \left( 1-x \right)-\sin x}{1-{cos ^{2}}x}\overset{\left( \frac{0}{0} \right)} {\mathop{=}} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{\left( 1-x \right)^2}-cos x}{2cos x sin x} \]

Το τελευταίο όριο οδηγεί στη μορφή -2/0 με τον παρονομαστή να μην διατηρεί πρόσημο κοντά στο 0. Παίρνοντας πλευρικά όρια εύκολα δείχνουμε ότι το όριο δεν υπάρχει. Οπότε αφού το όριο του πηλίκου των παραγώγων δεν υπάρχει δεν μπορούμε καν να εφαρμόσουμε τον κανόνα De L’Hospital. Μια αντιμετώπιση του παραπάνω ορίου είναι η παρακάτω.

\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\ln \left( {1 - x} \right) - \sin x \over {1 - {cos ^2}x}}= \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{\ln \left( 1-x \right)}{x}-\frac{\sin x}{x}}{x\frac{sin ^2x}{x^2}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x} \frac{\frac{\ln \left( 1-x \right)}{x}-\frac{1}{x}}{\frac{sin ^2x}{x^2}} \]

Έχουμε ότι:

\[ \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x} \frac{\frac{\ln \left( 1-x \right)}{x}-\frac{1}{x}}{\frac{sin ^2x}{x^2}}=-2 \]

διότι: \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{ln \left (1-x \right )}{x} \overset{\left( \frac{0}{0} \right)} {\mathop{=}} \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left ( -\frac{1}{1-x} \right )=-1 \]

\[ \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=1 \]

\[ \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{sin x}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{\left( \frac{sin x}{x} \right)}^2=1 \]

Παίρνοντας πλευρικά όρια στο 0 έχουμε:

\[ \underset{x\to 0^+}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x} \frac{\frac{\ln \left( 1-x \right)}{x}-\frac{1}{x}}{\frac{sin ^2x}{x^2}} = \left( +\infty \right ) (-2)= - \infty \]

\[ \underset{x\to 0^-}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x} \frac{\frac{\ln \left( 1-x \right)}{x}-\frac{1}{x}}{\frac{sin ^2x}{x^2}} = \left( -\infty \right ) (-2)= + \infty \] Επομένως το ζητούμενο όριο δεν υπάρχει.

Περιεχόμενα

The man without a face (1993)

Στην ταινία του 1993 The man without a face ο Mel Gisbson μας δείχνει έναν «ασυνήθιστο» τρόπο για να βρούμε το κέντρο ενός κύκλου. Ας δούμε όμως τα βήματα που ακολουθεί για να βρει το κέντρο του κύκλου στο παρακάτω απόσπασμα της ταινίας.

Ας δούμε αναλυτικά τα βήματα που ακολουθεί για να βρει το κέντρο του κύκλου.

Ξεκινά ζωγραφίζοντας ένα κύκλο στον οποίο παίρνει τρία τυχαία σημεία A, B, C και φέρνει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Μέχρι εδώ όλα καλά. Στη συνέχεια ορίζει το μέσο D του τμήματος ΑΒ και φέρνει το κάθετο (!) ευθύγραμμο τμήμα DC. Προσέξτε ότι τα σημεία A, B, C είναι τυχαία, παρόλα αυτά ισχυρίζεται ότι το DC είναι κάθετο στο ΑΒ. Συνεχίζει βρίσκοντας το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος BC στο οποίο φέρνει την κάθετο. Και τελειώνει λέγοντας ότι το σημείο τομής των δυο κάθετων είναι το κέντρο του κύκλου.

Το λάθος είναι προφανές ακόμα και σε ένα μαθητή του γυμνασίου. Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει το μέσο του ΑΒ με το τυχαίο σημείο C δεν είναι υποχρεωτικά κάθετο στην ΑΒ αφού το σημείο C είναι τυχαίο σημείο του κύκλου. Υπάρχουν πολλοί τρόποι να βρούμε το κέντρο ενός κύκλου, αλλά αυτός που προσπαθούσε να εξηγήσει ο συμπαθής Mel είναι ο ακόλουθος.

image
Bήματα εύρεσης του κέντρου ενος κύκλου..

Περιεχόμενα

X,Y (2004)

Η ταινία ακολουθεί τη ζωή του Nathan, ενός νεαρού μαθητή εξαιρετικά ταλαντούχου στα μαθηματικά ο οποίος ενισχύει το στερεότυπο της ιδιοφυίας που νιώθει άνετα στο κόσμο των μαθηματικών αλλά δυσκολεύεται στις προσωπικές του σχέσεις. Σε μια από τις σκηνές του έργου παίρνουμε μια γεύση από αυτό που οι μαθηματικοί λέμε κομψή μαθηματική απόδειξη.

Ας δούμε όμως το απόσπασμα από την εν λόγω ταινία.

Ο καθηγητής βάζει στη τάξη το εξής πρόβλημα.

Έχουμε μια σειρά από είκοσι τραπουλόχαρτα τα οποία βρίσκονται γυρισμένα προς τα κάτω, δηλαδή βλέπουμε το πίσω μέρος τους. Μια επιτρεπόμενη κίνηση είναι να γυρίσουμε προς τα πάνω ένα τραπουλόχαρτο που είναι γυρισμένο προς τα κάτω. Τότε όμως πρέπει να αναποδογυρίσουμε και το τραπουλόχαρτο που βρίσκεται στα δεξιά του.

Πρέπει να αποδείξουμε ότι αυτή η διαδικασία κάποτε θα τερματιστεί.

Το πρόβλημα ίσως να μην φαντάζει δύσκολο σε αυτούς που έχουν εμπειρία σε προβλήματα μαθηματικών διαγωνισμών αλλά σίγουρα θα αφήσει άπραγους πολλούς μαθητές. Η δυσκολία έγκειται στο πως θα προσεγγίσουμε το πρόβλημα, δηλαδή στο πως θα κάνουμε τη μαθηματική μοντελοποίηση του προβλήματος. Η ιδέα του Nathan είναι εξαιρετική και έχει ως εξής.

Προτείνει να σκεφτούμε τα τραπουλόχαρτα σαν αριθμούς και συγκεκριμένα σαν αριθμούς του δυαδικού συστήματος. Οι κάρτες που είναι γυρισμένες προς τα κάτω θα αντιστοιχούν στον αριθμό 1 και αυτές που είναι γυρισμένες προς τα πάνω στον αριθμό 0. Οπότε αρχικά έχουμε 20 τραπουλόχαρτα γυρισμένα προς τα κάτω δηλαδή έχουμε την ακολουθία:

Αν αρχίζουμε και εφαρμόζουμε τον κανόνα γυρίζοντας τραπουλόχαρτα θα φτάσουμε σε μια ακολουθία της μορφής

Για παράδειγμα ο Nathan λέει ότι ας υποθέσουμε ότι κάποια στιγμή φτάνουμε σε μια ακολουθία αριθμών όπως

Ο παραπάνω είναι ένας δυαδικός αριθμός και αντιστοιχεί στον αριθμό 154 στο δεκαδικό σύστημα αφού:

\[ \left( 10011010 \right)_2= 1\cdot 2^7+0\cdot 2^6+0\cdot 2^5+1\cdot 2^4+1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+0\cdot 2^0 \]

\[ =28+16+8+2=\left( 154 \right)_{10} \]

Ας υποθέσουμε τώρα ότι αλλάζουμε τον αριθμό 1 που βρίσκεται στη μέση. Τότε αυτό θα γίνει 0 αλλά και ο αριθμός 1 που βρίσκεται ακριβώς δεξιά του θα αλλάξει και αυτός σε 0. Δηλαδή:

Ας συνεχίσουμε και ας αλλάξουμε τον τελευταίο αριθμό 1 σε 0, οπότε και το τελευταίο 0 θα γίνει και αυτό 1. Δηλαδή:

Αν αλλάξουμε και τον πρώτο αριθμό 1 σε 0 τότε θα προκύψει ο

Ο Nathan λοιπόν ισχυρίζεται ότι αυτή η διαδικασία θα παράγει ολοένα και μικρότερους αριθμούς, άρα κάποια στιγμή θα καταλήξουμε στον αριθμό που θα έχει μόνο μηδενικά και η διαδικασία θα τερματιστεί.

Ο ισχυρισμός του είναι απόλυτα λογικός αν σκεφτούμε τη θέση των ψηφίων στο δυαδικό σύστημα. Αλλάζοντας για παράδειγμα τον αριθμό 1 που βρίσκεται στην πέμπτη θέση του δυαδικού αριθμού (και αντιστοιχεί στο \(2^4 \) ), ακόμα και αν ο επόμενος γίνει από 0 σε 1 (που αντιστοιχεί όμως στο \(2^3 \) ) ο νέος αριθμός θα είναι σίγουρα μικρότερος.

Περιεχόμενα

21 (2008)

Ο Ben, ένας από τους πρωταγωνιστές της ταινίας είναι ένας εικοσάχρονος φοιτητής του ΜΙΤ που ονειρεύεται την ιατρική σχολή του Harvard, αδυνατεί όμως να καλύψει τα απαιτούμενα δίδακτρα. Ωστόσο είναι πολύ καλός στα μαθηματικά και αυτό πέφτει στην αντίληψη του καθηγητή του (Kevin Spacey) ο οποίος τον καλεί να συμμετέχει σε μια μυστική ομάδα με σκοπό να νικήσουν τα καζίνο στο blackjack χρησιμοποιώντας μαθηματικά. Η ταινία είναι βασισμένη σε αληθινά γεγονότα.

Ας δούμε το απόσπασμα από την ταινία το οποίο θα μας απασχολήσει.

Σε μια από τις σκηνές της ταινίας ο καθηγητής θέτει το εξής πρόβλημα. Ας υποθέσουμε ότι βρίσκεται σε ένα τηλεπαιχνίδι στο οποίο υπάρχουν 3 πόρτες από τις οποίες μόνο μια κρύβει ένα αυτοκίνητο, ενώ οι άλλες δυο κρύβουν μια κατσίκα. Επιλέγετε μια από τις τρεις. Ο παρουσιαστής, ο οποίος γνωρίζει που βρίσκεται που βρίσκεται το αυτοκίνητο, ανοίγει μια από τις άλλες πόρτες και αποκαλύπτει την μια κατσίκα. Απομένουν λοιπόν η αρχική σας επιλογή και άλλη μια κλειστή πόρτα. Το ερώτημα που σας κάνει είναι το εξής:

Θέλετε να αλλάξετε την αρχική σας επιλογή;

Η για να γίνουμε πιο σαφείς. Είναι πιο πιθανό να κερδίζουμε το αυτοκίνητο αν αλλάξουμε την αρχική επιλογή μας ή όχι ή μηπως δεν παίζει κανέναν ρόλο;

Εκ πρώτης όψεως εφόσον έχουμε να διαλέξουμε ανάμεσα στην αρχική μας επιλογή και μια άλλη κλειστή πόρτα λογικά οι πιθανότητες μας να κερδίσουμε είναι 50 – 50.

Όπως θα αποδείξουμε τελικά όχι απλά μας συμφέρει να αλλάξουμε την αρχική επιλογή μας, αλλά κάνοντας το διπλασιάζουμε τις πιθανότητες να κερδίσουμε το αυτοκίνητο. Ας δούμε όμως πρώτα λίγα στοιχεία από την ιστορία του προβλήματος.

Το πρόβλημα αυτό αρχικά τέθηκε από τον Steve Selvin στο περιοδικό American Statistician το 1975. Έγινε διάσημο όμως από το περιοδικό Parade το 1990 στο οποίο η Marilyn vos Savant η οποία διαχειριζόταν μια ενότητα του περιοδικού με όνομα Ask Marilyn έθεσε το πρόβλημα στους αναγνώστες. Για την ιστορία η Marylin, σύμφωνα με το βιβλίο Γκινες έχει το μεγαλύτερο IQ (228) στον κόσμο.

Η ιδέα πίσω από το πρόβλημα ήρθε από το τηλεπαιχνίδι Let’s make a deal (1973-1976) με παρουσιαστή τον Monty Hall και με αυτό το όνομα πλέον έγινε διάσημο το πρόβλημα.

Λέγεται ότι όταν η Marylin δημοσίευσε ότι είναι προς το συμφέρον του παίχτη να αλλάξει την επιλογή του, δέχθηκε πάνω από 10.000 γράμματα, συμπεριλαμβανομένου πολλών καθηγητών με Ph.D, που έλεγαν ότι είχε λάθος.

Ενδεικτικά παρουσιάζουμε ορισμένες από τις οργισμένες απαντήσεις που πήρε η Marilyn από καθηγητές των Μαθηματικών.

“Your answer to the question is in error. But if it is any consolation, many of my academic colleagues have also been stumped by this problem.” Barry Pasternack, Ph.D. California Faculty Association

“You’re in error, but Albert Einstein earned a dearer place in the hearts of people after he admitted his errors.” Frank Rose, Ph.D. University of Michigan

“I am in shock that after being corrected by at least three mathematicians, you still do not see your mistake.” Kent Ford Dickinson State University

“You made a mistake, but look at the positive side. If all those Ph.D.’s were wrong, the country would be in some very serious trouble.” Everett Harman, Ph.D. U.S. Army Research Institute

“Since you seem to enjoy coming straight to the point, I’ll do the same. You blew it! Let me explain. If one door is shown to be a loser, that information changes the probability of either remaining choice, neither of which has any reason to be more likely, to 1/2. As a professional mathematician, I’m very concerned with the general public’s lack of mathematical skills. Please help by confessing your error and in the future being more careful.” Robert Sachs, Ph.D. George Mason University

Όπως είναι φανερό το πρόβλημα δεν είναι καθόλου απλό και όπως συμβαίνει με πολλά προβλήματα πιθανοτήτων είναι κόντρα στην διαίσθησή μας.

Θα προσπαθήσουμε να δώσουμε μια λύση στο πρόβλημα χωρίς να χρησιμοποιήσουμε τη θεωρία των πιθανοτήτων ώστε να γίνεται κατανοητή από όλους. Για να καταλάβουμε τη διαφορά που θα παίξει η απόφαση μας να αλλάξουμε πόρτα ή όχι, ας υποθέσουμε ότι ακολουθούμε την εξής στρατηγική:

Πριν πάμε στο τηλεπαιχνίδι έχουμε ήδη αποφασίσει ότι θα επιλέξουμε την πόρτα Νο 1 και θα παραμείνουμε σε αυτή την επιλογή ότι και αν μας πει ο παρουσιαστής. Τότε ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσουμε το αυτοκίνητο;

Εφόσον κάναμε μια επιλογή και παραμείναμε με αυτή τότε προφανώς η πιθανότητα να έχουμε επιλέξει την πόρτα με το αυτοκίνητο είναι 1/3 ή αλλιως 33,33%.

Η στρατηγική μας να μην αλλάξουμε πόρτα μας οδηγεί στη νίκη με ποσοστό 33,33%.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι ακολουθούμε την εξής στρατηγική: Πρίν πάμε στο τηλεπαιχνίδι έχουμε ήδη αποφασίσει ότι θα επιλέξουμε την πόρτα Νο 1 και όταν ο παρουσιαστής μας πει αν θέλουμε να αλλάξουμε θα το κάνουμε. Τότε ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσουμε το αυτοκίνητο;

Αν αρχικά η πόρτα που διαλέξαμε είχε την κατσίκα τότε κερδίσαμε αφού θα αλλάξουμε πόρτα. Αν όμως αρχικά η πόρτα που επιλέξαμε είχε το αυτοκίνητο τότε έχουμε χάσει γιατί θα αλλάξουμε πόρτα και θα πάρουμε αυτη με την κατσίκα.

Η πιθανότητα όμως να είχαμε αρχικά επιλέξει την κατσίκα είναι ίση με 2/3 ή 66,66%. Άρα κερδίζουμε με πιθανότητα 66,66%.

Ενώ η πιθανότητα να είχαμε αρχικά επιλέξει το αυτοκίνητο είναι ίση με 1/3 ή 33,33%. Άρα κερδίζουμε με πιθανότητα 33,33%.

Δηλαδή η στρατηγική να αλλάξουμε την αρχική μας επιλογή πράγματι διπλασίασε τις πιθανότητες νίκης.

Εάν τα παραπάνω φαίνονται πολύπλοκα σκεφτείτε το αποτέλεσμα που θα είχε η στρατηγική να αλλάξουμε την επιλογή μας στο ίδιο παιχνίδι αλλά όχι με 3 αλλά με 1000 πόρτες.

Δηλαδή αν υπάρχει ένα αυτοκίνητο και 999 κατσίκες και επιλέγοντας μια πόρτα ο παρουσιαστής ανοίγει τις υπόλοιπες 998 πόρτες με τις κατσίκες, αφήνοντάς μας με την επιλογή να αλλάξουμε αν θέλουμε πόρτα. Τότε είναι φανερό ότι αν επιμείνουμε με την αρχική μας επιλογή είναι σχεδόν σίγουρο ότι αυτή θα περιέχει κατσίκα μιας και είναι απίθανο να είχαμε κάνει αρχικά τη σωστή επιλογή ανάμεσα από 1000 πόρτες.

Εαν παρόλα αυτά νιώθετε δύσπιστος στα αποτελέσματα, μπορείτε να παίξετε με την παρακάτω εφαρμογή. Αρχικά κάντε click στην πόρτα που επιθυμείτε, στη συνέχεια αν θέλετε να αλλάξετε την επιλογή σας κάντε click στην άλλη πόρτα αλλιώς ξανακάντε click στην ίδια.

Προσωμοίωση Monty Hall

Προσωμοίωση Monty Hall

Νίκες:

Ήττες:

Ποσοστό επιτυχίας:
%

Περιεχόμενα