https://unsplash.com/

Pascal

Τρίγωνο του Pascal (μέρος 1)

Μάθετε τι είναι το τρίγωνο του Pascal και ορισμένες από τις ιδιότητες του.

Το τρίγωνο του Pascal

Το τρίγωνο του Pascal πήρε το όνομα του από τον μαθηματικό

Ωστόσο πολλοί άλλοι μαθηματικοί το είχαν ανακαλύψει και είχαν βρει κάποιες από τις ιδιότητές του αρκετές εκατοντάδες χρόνια πριν από αυτόν. Κοντά στον 10 αιώνα μ.χ ήταν ήδη γνωστο στον Πέρση μαθηματικό Al-Karaji αλλά και στον συμπατριώτη του Omar Khayyam, όπως και επίσης και στον κινέζο μαθηματικό Yang Hui 2 αιώνες αργότερα.

Ο Pascal με το έργο του Traité du triangle arithmétique το 1654 ανακάλυψε πολλές από τις ιδιότητες του τριγώνου τις οποίες χρησιμοποίησε για να λύσει προβλήματα των πιθανοτήτων.

Το τρίγωνο του Pascal είναι ένα αριθμητικό τρίγωνο οι σειρές του οποίου κατασκευάζονται ως εξής:

Στην κορυφή του τριγώνου είναι ο αριθμός 1. (Μηδενική σειρά) Η πρώτη σειρά έχει επίσης τους αριθμούς 1 και 1.

Κάθε επόμενη σειρά έχει στις άκρες τον αριθμό 1 και τα υπόλοιπα στοιχεία της προκύπτουν αν προσθέσουμε τον αριθμό που βρίσκεται πάνω και αριστερά με το αυτόν που βρίσκεται πάνω και δεξιά, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα .

Για να δείτε πως προκύπτει κάθε αριθμός δείτε την παρακάτω εικόνα.

image
.

Οι ιδιότητες του τριγώνου του Pascal είναι πάρα πολλές, κάποιες είναι γνωστές από την αρχαιότητα και κάποιες είναι πολύ πιο σύγχρονες. Ορισμένες από αυτές τις ιδιότητες θα δούμε παρακάτω.

Μπορείτε να δείτε τις ιδιότητες του τριγώνου πατώντας το αντίστοιχο κουμπί στην παρακάτω εφαρμογή. Η εφαρμογή αυτή βρίσκεται μόνο στο πρώτο μέρος του άρθρου. Η δημοσίευση χωρίστηκε σε 2 μέρη γιατί όλες οι εφαρμογές στην ίδια σελίδα την έκαναν να μη φορτώνει ποτέ.

Καλύτερα βέβαια να διαβάσετε πρώτα για την κάθε ιδιότητα και στη συνέχεια δείτε και την εφαρμογή.

Φυσικοί αριθμοί

Μια από τις πιο απλές ιδιότητες του τριγώνου είναι η εξής.

Η δεύτερη διαγώνιος του τριγώνου του Pascal περιέχει όλους τους φυσικούς αριθμούς 1, 2 ,3 4, …

Περιεχόμενα

Τριγωνικοί αριθμοί

Τριγωνικοί αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που ισούνται με το άθροισμα ορισμένων διαδοχικών ακεραίων με πρώτο τον αριθμό 1, δηλαδή είναι οι αριθμοί της μορφής:

Για παράδειγμα οι πρώτοι τριγωνικοί αριθμοί είναι οι:

1 = 1

3 = 1 + 2

6 = 1 + 2 + 3

10 = 1 + 2 + 3 + 4

15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

Ονομάζονται τριγωνικοί γιατί αν τους αναπαραστήσουμε ως σημεία τότε σχηματίζουν ισόπλευρα τρίγωνα όπως στο παρακάτω σχήμα. Ο ν-οστός τριγωνικός αριθμός παριστάνει ένα τρίγωνο με ν σημεία σε κάθε πλευρά του. Για παράδειγμα 3ος τριγωνικός αριθμός είναι ο 6 και παριστάνει ένα τρίγωνο με 3 σημεία σε κάθε πλευρά του.

Αν παρατηρήσουμε τώρα το τρίγωνο του Pascal η τρίτη διαγώνιος περιέχει όλους τους τριγωνικούς αριθμούς.

Περιεχόμενα

Το άθροισμα των γραμμών του

Το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής του τριγώνου μας δίνει τις δυνάμεις του 2. Για παράδειγμα:

1η γραμμή = 1 = \( 2^0\)

2η γραμμή = 1 + 1 = 2 = \(2^1 \)

3η γραμμή = 1 + 2 + 1 = 4 = \(2^2\)

4η γραμμή = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = \(2^3\)

κ.ο.κ.

Περιεχόμενα

Δυνάμεις του 11

Μια ακόμα απροσδόκητη ιδιότητα του τριγώνου του Pascal είναι και η εξής. Οι αριθμοί που βρίσκονται σε κάθε σειρά του τριγώνου μας δίνουν τις δυνάμεις του 11. Για παράδειγμα οι τέσσερις πρώτες γραμμές του τριγώνου είναι:

Το ίδιο μοτίβο συνεχίζει και από την 5η γραμμή και κάτω αρκεί να γράψουμε τον αριθμό που βρίσκεται σε κάθε γραμμή με το δεκαδικό του ανάπτυγμα. Δηλαδή στην 5η γραμμή έχουμε τους αριθμούς 1, 5, 10, 10, 5 και 1 που αντιστοιχούν στον αριθμό:

Με τον ίδιο συλλογισμό μπορούμε να συνεχίσουμε και στις επόμενες γραμμές.

Περιεχόμενα

Συνδυασμοί

Το τρίγωνο του Pascal μας βοηθά να υπολογίσουμε το πλήθος των συνδυασμών ν στοιχείων ανά κ όταν η σειρά δεν μας ενδιαφέρει.

Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε πόσες δυνατές ομάδες των 4 ατόμων μπορούμε να σχηματίσουμε από ένα σύνολο 7 ατόμων. Αρκεί να κοιτάξουμε στην 7η σειρά του τριγώνου το 4ο στοιχείο. (Μην ξεχνάμε ότι η πρώτη σειρά του τριγώνου είναι η μηδενική αλλά και το πρώτο στoιχείο κάθε γραμμής είναι το μηδενικό). Εκει θα βρούμε τον αριθμό 35. Οπότε μπορούμε να κάνουμε 35 ομάδες των τεσσάρων ατόμων από ένα σύνολο 7 ατόμων. Το πλήθος των συνδυασμών των ν στοιχείων ανά κ συμβολίζεται με \( \left( \matrix{ \nu \hfill \cr \kappa \hfill \cr} \right) \) και ισούται με:

Περιεχόμενα

Δείτε και άλλες ιδιότητες του τριγώνου στο 2ο μέρος.