https://unsplash.com/

Pascal

Τρίγωνο του Pascal (μέρος 2)

Μάθετε τι είναι το τρίγωνο του Pascal και ορισμένες από τις ιδιότητες του.

Το τρίγωνο του Sierpinski

Αν χρωματίσουμε όλους τους περιττούς αριθμούς του τριγώνου τότε προκύπτει ένα ενδιαφέρον σχήμα το οποίο ονομάζεται τρίγωνο του Sierpinski. Αν ονομάσουμε Pν το χρωματισμένο τρίγωνο του pascal που αποτελείται από τις πρώτες ν γραμμές, τότε το τρίγωνο με χρωματισμένες τις \(8=2^3 \) πρώτες γραμμές, δηλαδή το P3 είναι ως εξής.

Ενώ αν χρωματίσουμε τις πρώτες \( 16=2^4 \) γραμμές, δηλαδή το P4, τότε παίρνει την παρακάτω μορφή.

Παρατηρήστε ότι κάθε μικρό τρίγωνο που βρίσκεται στις 3 γωνίες του P4 είναι όμοιο με το τρίγωνο P3.

Το ίδιο συμβαίνει αν συγκρίνουμε το τρίγωνο με \(32=2^5 \) γραμμές (P5) με το P4 κ.ο.κ.

Μετακινήστε το δρομέα στην παρακάτω εφαρμογή για να δείτε το τρίγωνο με τις πρώτες 256 γραμμές.

Το τρίγωνο αυτό που όπως είπαμε ονομάζεται τρίγωνο του Sierpinski. Στα Μαθηματικά τέτοια σχήματα ονομάζονται fractals (μορφόκλασμα) και είναι γεωμετρικά σχήματα που επαναλαμβάνονται αυτούσια σε άπειρο βαθμό μεγέθυνσης, κι έτσι συχνά αναφέρονται σαν “απείρως περίπλοκα”.

Το φράκταλ παρουσιάζεται ως “μαγική εικόνα” που όσες φορές και να μεγεθυνθεί οποιοδήποτε τμήμα του θα συνεχίζει να παρουσιάζει ένα εξίσου περίπλοκο σχέδιο με μερική ή ολική επανάληψη του αρχικού. (Wikipedia)

Περιεχόμενα

Το μπαστούνι του Hockey

Μια ακόμη περίεργη ιδιότητα του τριγώνου που πήρε το όνομά της από το σχήμα που δημιουργείται. Ξεκινάμε από οποιονδήποτε αριθμό 1 και κινούμαστε διαγώνια για όσους αριθμούς θέλουμε. Ο αριθμός που βρίσκεται διαγώνια προς τα κάτω από εκει που σταματήσαμε μας δίνει το άθροισμα όλων των προηγούμενων αριθμών.

Για παράδειγμα ξεκινάμε από την δεύτερη διαγώνιο και φτάνουμε μέχρι τον αριθμό 7. Ο αριθμός 28 που βρίσκεται ακριβώς από κάτω μας δίνει το άθροισμα των προηγούμενων αριθμών, δηλαδή 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28

Περιεχόμενα

Οι αριθμοί Fibonacci

Οι αριθμοί Fibonacci είναι μια ακολουθία φυσικών αριθμών όπου οι δυο πρώτοι αριθμοί είναι η μονάδα και κάθε επόμενος ισούται με το άθροισμα των δυο προηγούμενων. Ο μαθηματικών τύπος αυτής της ακολουθίας είναι ο εξής:

Οι πρώτοι όροι της ακολουθίας είναι οι:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Παρατηρήστε ότι τα αθροίσματα των αριθμών που βρίσκονται στις διαγώνιους του τριγώνου του Pascal παράγουν τους όρους της ακολουθίας Fibonnacci.

Η διάσημη αυτή ακολουθία πήρε το όνομα της από τον Ιταλό μαθηματικό Fibonnaci ο οποίος την έκανε γνωστή στο έργο του Liber Abaci (1202). Ωστόσο η ακολουθία έχει εμφανιστεί και στα γραπτά Ινδών μαθηματικών κατά τον 5ο αιώνα π.χ.

Στο έργο του αυτό ο Fibonnaci θεωρεί ένα ζευγάρι κουνελιών το οποίο υπό ιδανικές συνθήκες μπορεί και αναπαράγεται μόλις φτάσει την ηλικία του ενός μηνός. Το νεό ζευγάρι θα φτάσει σε ηλικία αναπαραγωγής σε 2 μήνες κ.ο.κ. Πόσο ζευγάρια κουνελιών θα έχουμε στο τέλος του χρόνου.

Ας ονομάσουμε το αρχικό ζεύγος των 2 κουνελιών Αλίκη και Βασίλης. Ο πληθυσμός των κουνελιών τους πρώτους μήνες διαμορφώνεται ως εξής:

Στο τέλος του πρώτου μήνα η Αλίκη και ο Βασίλης ζευγαρώνουν. Οπότε έχουμε 1 ζευγάρι.

Στο τέλος του δεύτερου μήνα κάνουν τους πρώτους απογόνους τον Γιώργο και την Δανάη. Οπότε υπάρχουν 2 ζευγάρια. Στο τέλος του τρίτου μήνα η Αλίκη και ο Βασίλης γεννούν νέους απογόνους τον Ερμή και την Ζωή. Οπότε υπάρχουν 3 ζευγάρια.

Στο τέλος του τέταρτου μήνα η Αλίκη και ο Βασίλης γεννούν νέους απογόνους τον Ηλία και την Θωμαή αλλά και ο Γιώργος με τη Δανάη έφτασαν και αυτοί σε ηλικία 2 μηνών οπότε κάνουν τους δικούς τους απογόνους τον Ίκαρο και την Κατερίνα. Για να γίνουν πιο κατανοητά τα παραπάνω δείτε το παρακάτω δενδροδιάγραμμα. (Μπορείτε να πατήσετε πάνω στα ονόματα κάθε κλάδου.)

Δείτε το πρώτο μέρος του άρθρου.

Περιεχόμενα