Εκθετική αύξηση

Ο αριθμός e

Εκθετική αύξηση

Τι εννοούμε όταν λέμε ότι ένα μέγεθος αυξάνεται εκθετικά και πως σχετίζεται αυτή η αύξηση με τον αριθμό e.

Εκθετική αύξηση

Λέμε ότι ένα μέγεθος αυξάνεται εκθετικά όταν ο ρυθμός μεταβολής του είναι ανάλογος της ποσότητας. Η έννοια της εκθετικής αύξησης βρίσκεται παντού γύρω μας, από την οικονομία και την βιολογία μέχρι την φυσική και τους υπολογιστές. Ωστόσο η έννοια της εκθετικής αύξησης δεν είναι καθόλου αυτονόητη.

Συνήθως οι περισσότεροι όταν λένε ότι ένα μέγεθος αυξάνεται εκθετικά εννοούν ότι αυξάνεται πολύ γρήγορα.

Η εκθετική αύξηση όντως μπορεί να είναι απίστευτα γρήγορη, μπορεί όμως και να είναι και απελπιστικά αργή. Για παράδειγμα αν κάθε μέρα αποταμιεύουμε 100€ τότε σίγουρα το συνολικό ποσό που αποταμιεύουμε γίνεται αρκετά μεγάλο σε σύντομο χρονικό διάστημα. Παρόλα αυτά η αύξηση είναι σταθερή κάθε μήνα και γίνεται γραμμικά. Αν όμως καταθέσουμε 100€ στην τράπεζα με επιτόκιο 5% τότε τα χρήματά μας αυξάνουν αργά αλλά η αύξηση είναι εκθετική.

Οποιαδήποτε εκθετική καμπύλη εν τέλει θα ξεπεράσει μια γραμμική αλλά αυτό ορισμένες φορές μπορεί να πάρει πολύ χρόνο.

Δείτε για παράδειγμα τον παρακάτω πίνακα που στην πρώτη γραμμή αποτυπώνει την γραμμική αύξηση ενός μεγέθους κατα 1000 κάθε χρονική περίοδο και στην δεύτερη γραμμή την εκθετική αύξηση ενός μεγέθους που διπλασιάζεται κάθε χρονική περίοδο.

Χρονική περίοδος 1 2 3 4 12 13
Γραμμική αύξηση 1000 2000 3000 4000 12000 13000
Εκθετική Αύξηση 1 2 4 8 8192 16384

Βιολογία και μικροοργανισμοί

Ας κάνουμε το εξής νοητικό πείραμα.

Υποθέτουμε ότι στις 11:00 βάζουμε ένα βακτήριο σε ένα βάζο. Σε ένα λεπτό το βακτήριο έχει διπλασιαστεί σε μέγεθος και διαιρείται σε 2 βακτήρια.



Τα βακτήρια συνεχίζουν να διαιρούνται κάθε λεπτό και στις 11:02 έχουμε 4 βακτήρια, στις 11:03 έχουμε 8 κ.ο.κ. Έτσι λοιπόν στις 11:10 έχουμε 1024 βακτήρια, το μέγεθος τους όμως είναι τόσο μικρό που χρειάζεται μικροσκόπιο για να τα δούμε. Στις 12:00 ακριβώς το βάζο είναι γεμάτο από τα βακτήρια.





Πότε το βάζο θα είναι γεμάτο μέχρι τη μέση;

Η απάντηση είναι στις

Εφόσον τα βακτήρια διπλασιάζονται κάθε λεπτό και στις 12:00 το βάζο είναι γεμάτο, τότε θα πρέπει αναγκαστικά ένα λεπτό πριν να ήταν γεμάτο ως τη μέση.



Η αύξηση των βακτηρίων παριστάνεται γραφικά με την καμπύλη που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Ο οριζόντιος άξονας καταγράφει την χρονική περίοδο ενώ ο κατακόρυφος τον αριθμό των βακτηριδίων.

Παρατηρήστε ότι σύστημα αξόνων δεν είναι κανονικό. Για να μπορέσουμε να δούμε ορισμένα σημεία της καμπύλης ο άξονας των τεταγμένων έχει μεγαλύτερη κλίμακα από ότι αυτος των τετμημένων.



Ας υποθέσουμε τώρα, ότι λίγο πριν τις 12:00 συνειδητοποιώντας ότι το βάζο είναι σχεδόν γεμάτο, αποφασίζουμε να φέρουμε άλλα 3 κενά βάζα τετραπλασιάζοντας με αυτό τον τρόπο την αρχική χωρητικότητα. Σίγουρα τώρα θα έχουμε αρκετό χρόνο μέχρι να γεμίσουν και τα υπόλοιπα βάζα. Σωστά;

  • Πόσο χρόνο μετά τις 12:00 θα χρειαστούν τα βακτήρια για να καταλάβουν όλο τον διαθέσιμο χώρο των τεσσάρων δοχείων;*

Η απάντηση είναι

Εφόσον τα βακτήρια διπλασιάζονται κάθε λεπτό και στις 12:00 ακριβώς έχουν γεμίσει το ένα βάζο, τότε στις 12:01 θα διπλασιαστούν και θα χρειαστούν 2 βάζα, ενώ στις 12:02 θα διπλασιαστούν ξανά και θα γεμίσουν και τα 4 βάζα.





Παρόλο λοιπόν που τετραπλασιάσαμε την αρχική χωρητικότητα, ο επιπλέον χρόνος που κερδίσαμε ήταν μόλις 2 λεπτά! Ο συλλογισμός αυτός γίνεται ανησυχητικός αν σκεφτούμε τα φυσικά φαινόμενα που ακολουθούν την εκθετική αύξηση όπως για παράδειγμα:

  • Ο πληθυσμός της Γης.
  • Η κατανάλωση των φυσικών πόρων.
  • Ο αριθμός των οχημάτων.
  • Η χρήση του internet.

Συγκεκριμένα να αναφέρουμε ότι ο πληθυσμός της Γης έχει διπλασιαστεί 2 φορές τα τελευταία διακόσια χρόνια όπως φαίνεται και στο παρακάτω γράφημα.

Τα δεδομένα είναι από την σελίδα ourworldindata.org. Το γράφημα είναι κατασκευασμένο σε D3 και είναι διαδραστικό.

Ακόμα μεγαλύτερη αύξηση παρουσιάζει και ο αριθμός των οχημάτων ο οποίος αναμένεται αναμένεται να διπλασιαστεί έως το έτος 2040.

Όλα τα παραπάνω παραδείγματα αυξάνουν ποσοστιαία κάθε χρόνο και όταν ένα μέγεθος αυξάνεται κατά ένα ποσοστό κάθε χρονική περίοδο αυτό σημαίνει ότι αυξάνει εκθετικά.

Η περίπτωση του διπλασιασμού της αρχικής ποσότητας κάθε χρονική περίοδο μαθηματικά μπορεί να περιγραφεί από τη συνάρτηση \( f(x)=2^x \) . Ο διπλασιασμός ουσιαστικά σημαίνει μια αύξηση 100% οπότε η παραπάνω συνάρτηση μπορεί να γραφεί και ως εξής: \( f(x)=(1+100\% )^x \)

Αν η αύξηση ήταν διαφορετική ας πούμε 25% ή 50 % τότε απλά αντικαθιστούμε το ποσοστό και έχουμε την αντίστοιχη συνάρτηση . Όπως είναι φανερό αντικαθιστώντας τιμές στην μεταβλήτη x μπορούμε να βρούμε τον αριθμό των βακτηρίων κάθε λεπτό. Βάζοντας για παράδειγμα όπου x το 2 βρίσκουμε \(2^2=4\) που σημαίνει ότι μετά από 2 λεπτά τα βακτήρια είναι 4. Τι συμβαίνει όμως αν βάλουμε στο x μη δεκαδικούς αριθμούς ή ακόμα αν βάλουμε όπου x το ρίζα 2; Έχει νόημα το αποτέλεσμα;

Ποια είναι η φυσική ερμηνεία του \( 2^{1,5} \) ή ακόμα χειρότερα του \( 2^{\sqrt{2}} \). Αν πατήσουμε σε έναν υπολογιστή τσέπης \( 2^{\sqrt{2}} \) θα μας δώσει το αποτέλεσμα 2,665144…. Αν σκεφτούμε το παράδειγμα με τα βακτήρια σίγουρα δεν γίνεται να έχουμε 2,665 βακτήρια στο βάζο άρα μήπως δεν έχουν νόημα οι μη ακέραιες τιμές της μεταβλητής χ;

Η πραγματικότητα όμως δεν λειτουργεί έτσι. Το βακτήριο δεν κάθεται απλά για ένα λεπτό και την τελευταία στιγμή μαγικά διπλασιάζεται. Αντιθέτως μπορούμε να το φανταστούμε σαν να διογκώνεται και σιγά σιγά να διαιρείται ώστε σταδιακά μετά από ένα λεπτό να έχει δημιουργηθεί ένα νέο βακτήριο.

image
Υποτυπώδη απεικόνιση διαίρεσης βακτηρίου.

Ας δούμε στη συνέχεια ένα διαφορετικό παράδειγμα εκθετικής αύξησης που σχετίζεται με την οικονομία.

Περιεχόμενα

Καταθέσεις και ανατοκισμός

Ας υποθέσουμε ότι καταθέτουμε σε μια τράπεζα 1 ευρώ. Η συγκεκριμένη τράπεζα είναι εξαιρετικά γενναιόδωρη και μας δίνει ένα ετήσιο επιτόκιο 100% . Με τη συμπλήρωση ενός χρόνου οι τόκοι προστίθενται στο κεφάλαιο και το ποσό που προκύπτει είναι το νέο κεφάλαιο που τοκίζεται με το ίδιο επιτόκιο για τον επόμενο χρόνο. Η διαδικασία αυτή είναι γνωστή ως ανατοκισμός.

Επομένως ξεκινώντας με 1 ευρώ και παίρνοντας τόκο 100% του ενός ευρώ, μετά από ένα χρόνο θα έχουμε στην τράπεζα 2 ευρώ.

Η τράπεζα μας κάνει την εξής προσφορά: Αντί για 100% επιτόκιο μας το μειώνει στο μισό και μας δίνει 50% όχι κάθε χρόνο όμως αλλά κάθε εξάμηνο. Τα χρήματα μας λοιπόν τοκίζονται 2 φορές το χρόνο με επιτόκιο 50%. Μας συμφέρει άραγε να δεχτούμε αυτή την προσφορά της τράπεζας;

Στο τέλος του πρώτου εξαμήνου θα έχουμε 1 ευρώ συν το 50% του ενός ευρώ που είναι 50 λεπτά, άρα συνολικά έχουμε 1,5 ευρώ στο τέλος του πρώτου εξαμήνου.

Στο τέλος του δεύτερου εξαμήνου θα έχουμε 1,5 ευρώ συν το 50% του 1,5 ευρώ το οποίο είναι 75 λεπτά, άρα συνολικά έχουμε 2,25 ευρώ στο τέλος του ενός χρόνου.

Προφανώς λοιπόν μας συμφέρει να δεχτούμε το επιτόκιο 50% κάθε εξάμηνο.

Αν η τράπεζα μας έδινε το 1/4 του αρχικού επιτοκίου δηλαδή 25% αλλά τα χρήματά μας τοκίζονται 4 φορές το χρόνο, τότε ακολουθώντας την ίδια λογική το συνολικό ποσό που θα είχαμε στο τέλος του χρόνου θα ήταν 2,44 ευρώ. Επομένως λοιπόν μας συμφέρει περισσότερο αυτή η επιλογή.

Και αν η τράπεζα μας δίνει το 1/12 του αρχικού επιτοκίου αλλά τα χρήματα μας τοκίζονται 12 φορές το χρόνο, μήπως τότε θα έχουμε περισσότερα χρήματα στο τέλος του χρόνου;

Τον πρώτο μήνα θα έχουμε \( 1 \cdot \left( {1 + \frac{1}{12}} \right) \) ευρώ, τον δεύτερο μήνα θα έχουμε \( 1 \cdot \left( {1 + {1 \over {12}}} \right) \cdot \left( {1 + {1 \over {12}}} \right) = {\left( {1 + {1 \over {12}}} \right)^2} \) κ.ο.κ. Οπότε στο τέλος του χρόνου θα έχουμε \( {\left( {1 + {1 \over {12}}} \right)^{12}} = 2,61 \) ευρώ στην τράπεζα. Δηλαδή ακόμα καλύτερα από τις προηγούμενες περιπτώσεις.

Και τώρα που καταλάβαμε πως δουλεύει ο ανατοκισμός γιατί να περιοριστούμε στον ανατοκισμό κάθε μήνα; Ας υποθέσουμε ότι η τράπεζα μας δίνει το 1/365 του αρχικού επιτοκίου κάθε μέρα, τότε σίγουρα θα κερδίσουμε περισσότερα χρήματα στο τέλος του χρόνου, σωστά; Τα χρήματα που θα έχουμε στο τέλος του χρόνου θα είναι: \( 1 \cdot {\left( {1 + {1 \over {365}}} \right)^{365}} = 2,71 \) ευρώ.

Όχι και μεγάλη διαφορά από πριν αλλά σίγουρα καλύτερα. Μήπως λοιπόν αν η τράπεζα τοκίζει τα χρήματα μας κάθε δευτερόλεπτο ή κάθε χιλιοστό του δευτερολέπτου θα είχαμε άπειρα χρήματα στο τέλος του χρόνου; Για να το ανακαλύψουμε θα πρέπει να βρούμε την τιμή της παράστασης \( {\left( {1 + {1 \over \nu }} \right)^\nu } \) όταν το ν γίνει πολύ πολύ μεγάλο ή όπως λέμε στα μαθηματικά το ν να τείνει στο άπειρο. Μαθηματικά η παραπάνω έκφραση γράφεται ως:

\[ \mathop {\lim }\limits_{\nu \to + \infty } {\left( {1 + {1 \over \nu }} \right)^\nu } \]

Ιστορικά ο πρώτος που κατέληξε στο παραπάνω συμπέρασμα ήταν ο Bernoulli τον 17ο αιώνα. Δεν κατάφερε να υπολογίσει την ακριβή τιμή της παραπάνω παράστασης, ήξερε όμως ότι πρέπει να βρισκόταν κάπου ανάμεσα στο 2 και το 3. Περίπου 50 χρόνια αργότερα ο Euler απέδειξε ότι η παραπάνω παράσταση είναι ίση με τον αριθμό:

2,7182818284590452353602874713527…

Ο αριθμός αυτός απέδειξε ότι είναι άρρητος τον ονόμασε e και είναι μια από τις πιο σημαντικές σταθερές στα Μαθηματικά γνωστή ως αριθμός του Euler.

Ο αριθμός e ουσιαστικά δεν είναι τίποτα άλλο από το μέγιστο δυνατό αποτέλεσμα όταν μια ποσότητα ανατοκίζεται με αύξηση 100% για μια χρονική περίοδο.

Όπως είδαμε ξεκινώντας με 1 ευρώ στο τέλος μιας χρονική περιόδου ο μέγιστος αριθμός των χρημάτων που θα έχουμε είναι e. Αντίστοιχα αν το αρχικό μας κεφάλαιο ήταν 2 ευρώ τότε στο τέλος του χρόνου θα είχαμε 2e ευρώ κ.ο.κ.

To be continued…

Περιεχόμενα