Εξίσωση εφαπτομένης
Παραδείγματα στην εύρεση της εξίσωσης εφαπτομένης.
Άσκηση 1
Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της \( f\left( x \right) = 2{x^3} + {x^2} + x - 2 \) στο σημείο της \( {\rm A}\left( {0,f\left( 0 \right)} \right) \)
Λύση
Η f είναι παραγωγίσιμη στο \( \mathbb{R} \) με \( f'\left( x \right) = 6{x^2} + 2x + 1\)
Η εξίσωση εφαπτομένης της στο σημείο Α είναι:
\[ y - f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right) \Leftrightarrow \] \[ y - \left( { - 1} \right) = 1\left( {x - 0} \right) \Leftrightarrow \] \[y = x - 1 \]
Άσκηση 2
Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της \(f\left( x \right) = {x^2} - x + 2\) η οποία:
α) Είναι παράλληλη στην ευθεία \(\left( \varepsilon_1 \right):y = 3x - 1\) (Δηλαδή έχει κλίση ίση με 3 ή αλλιώς έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με 3).
β) Είναι κάθετη στην ευθεία \(\left( \varepsilon_1 \right):3y - x + 1 = 0\)
γ) Σχηματίζει με τον άξονα xx’ γωνία 135ο
δ) Διέρχεται από το σημείο \({\rm A}\left( {0, - 2} \right)\)
Λύση
Η f είναι παραγωγίσιμη στο \( \mathbb{R} \) με \(f'\left( x \right) = 2x - 1\).
Το σημείο επαφής δεν είναι γνωστό σε κάνενα από τα ερωτήματα, οπότε υποθέτουμε ότι αυτό είναι το \(\left( {x_0},f\left( {x_0} \right) \right)\).
α) Εφόσον η εξίσωση εφαπτομένης είναι παράλληλη στην ευθεία \(\varepsilon _1\) τότε θα έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης, δηλαδή:
\({\lambda _{\varepsilon \varphi }} = {\lambda _{\varepsilon _1}} \Leftrightarrow f'\left( \right) = 3 \Leftrightarrow 2{x_0} - 1 = 3 \Leftrightarrow {x_0} = 2\)
Οπότε η εξίσωση εφαπτομένης στο σημείο \(\left( {2,f\left( 2 \right)} \right)\) είναι:
\[y - f\left( 2 \right) = f'\left( 2 \right)\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow \] \[y - 4 = 3\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow \] \[y = 3x - 2\]
β) Εφόσον η εξίσωση εφαπτομένης είναι κάθετη στην ευθεία \(\varepsilon _2 \) τότε το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης θα ισούται με -1, δηλαδή:
\[{\lambda _{\varepsilon \varphi }}{\lambda _{\varepsilon _2}} = - 1 \Leftrightarrow \frac{1}{3}f'\left( {x_0} \right) = - 1 \Leftrightarrow 2x_0 - 1 = - 3 \Leftrightarrow x_0 = - 1\]
Οπότε η εξίσωση εφαπτομένης στο σημείο \(\left( { - 1,f\left( { - 1} \right)} \right) \) είναι:
\[y - f\left( { - 1} \right) = f'\left( { - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow \]
\[y - 2 = - 3\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow \]
\[y = - 3x - 1 \]
γ) Εφόσον η εξίσωση εφαπτομένης σχηματίζει γωνία \(135^0\) με τον άξονα \(x'x\) τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της θα ισούται με την εφαπτομένη των (135^0\), δηλαδή:
\[{\lambda _{\varepsilon \varphi }} = \varepsilon \varphi {135^0} \Leftrightarrow f'\left( {x_0} \right) = - 1 \Leftrightarrow 2x_0 - 1 = - 1 \Leftrightarrow x_0 = 0\]
Οπότε η εξίσωση εφαπτομένης στο σημείο \(\left( {0,f\left( 0 \right)} \right)\) είναι:
\[y - f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right) \Leftrightarrow \] \[y - 2 = - 1\left( {x - 0} \right) \Leftrightarrow \] \[y = - x + 2 \]
δ) Η εξίσωση εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της \({\rm A}\left( {x_0,f\left( {x_0} \right)} \right) \) είναι: \[y - f\left( {x_0} \right) = f'\left( {x_0} \right)\left( {x - x_0} \right),,,\left( 1 \right)\]
Εφόσον διέρχεται από το σημείο \({\rm A}\left( {0, - 2} \right)\) τότε οι συντεταγμένες του Α θα επαληθεύουν την εξίσωση της εφαπτομένης.
Οπότε για \(x = 0\) και \(y = - 1\) η \(\left( 1 \right)\) γίνεται:
\[ - 2 - f\left( {x_0} \right) = f'\left( {x_0} \right)\left( { - x_0} \right) \Leftrightarrow \] \[ - 2 - x_0^2 + x_0 - 2 = \left( {2x_0 - 1} \right)\left( { - x_0} \right) \Leftrightarrow \] \[ - 2 - x_0^2 + x_0 - 2 = - 2x_0^2 + x_0 \Leftrightarrow \]
Άρα οι εφαπτομένες που διέρχονται από το σημείο \({\rm A}\left( {0, - 2} \right)\) είναι οι εξής δύο:
Στο σημείο \(\left( {2,f\left( 2 \right)} \right) \) είναι η:
\[y - f\left( 2 \right) = f'\left( 2 \right)\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow \] \[y - 4 = 3\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow \] \[y = 3x - 2\] Στο σημείο \(\left( { - 2,f\left( { - 2} \right)} \right)\) είναι η:
\[y - f\left( { - 2} \right) = f'\left( { - 2} \right)\left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow \] \[y - 8 = - 5\left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow \] \[y = - 5x - 2\]
Άσκηση 3
Να αποδείξετε ότι η ευθεία \(\left( \varepsilon \right):y = x -e\) εφάπτεται στην γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f\left( x \right) = xlnx -x\)
Λύση
Η f είναι παραγωγίσιμη στο \(\mathbb{R}\) με \(f'\left( x \right) = lnx+x\cdot \frac{1}{x}-1=lnx\)
Έστω \(\left( {x_0,f\left( {x_0} \right)} \right)\) ένα σημείο της γραφικής παράστασης της f. Για να εφάπτεται η ε στην \({C_f}\) θα πρέπει το παρακάτω σύστημα να έχει λύση.
$$ \left{ \matrix{ f'\left( x_0 \right) = \lambda _\varepsilon \hfill \cr f\left( x_0 \right) = x_0 - e \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow
\left{ \matrix{ lnx_0=1 \hfill \cr x_0 lnx_0-x_0=x_0 -e \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow
\left{ \matrix{ x_0=e \hfill \cr elne-e =e-e ; που ; ισχύει \hfill \cr} \right. $$
Επομένως η ευθεία \(\left( \varepsilon \right):y = x -e\) εφάπτεται στην γραφική παράσταση της f στο σημείο \(\left( {x_0,f\left( {x_0} \right)} \right)\)
Άσκηση 4
Δίνονται οι συναρτήσεις \(f\left( x \right) = x^2\) και \(g\left( x \right) = \frac{x}\) .
Να βρείτε την κοινή εφαπτομένη των \({C_f}\) και \({C_g}\) στο κοινό τους σημείο.
Λύση
Η f είναι έχει πεδίο ορισμού το R και είναι παραγωγίσιμη στο R με: \(f'\left( x \right) = 2x\)
Η g είναι έχει πεδίο ορισμού το R* και είναι παραγωγίσιμη στο R* με:
\(g'\left( x \right) = \frac} = \frac} = \frac}\)
Για να έχουν οι \({C_f}\) και \({C_g}\) κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο \(\left( \right)} \right)\) θα πρέπει το παρακάτω σύστημα να έχει λύση:
$$\left{ \matrix{ f'\left( \right) = g'\left( \right) \hfill \cr f\left( \right) = g\left( \right) \hfill \cr } \right. \Leftrightarrow \left{ \matrix{ 2{x_0} = \frac \hfill \cr x_0^2 = \frac} \hfill \cr } \right. \Leftrightarrow \left{ \matrix { 2x_0^3 - x_0^2 - 1 = 0 \hfill \cr x_0^3 - x_0^2 - {x_0} + 1 = 0 \hfill \cr} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left{ \matrix{ \left( {{x_0} - 1} \right)\left( {2x_0^2 + {x_0} + 1} \right) = 0 \hfill \cr \left( {{x_0} - 1} \right)\left( {x_0^2 - 1} \right) \hfill \cr } \right. \Leftrightarrow \left{ \matrix { {x_0} = 1 \hfill \cr {x_0} = 1,,{x_0} = - 1 \hfill \cr } \right. \Leftrightarrow x_0=1 $$
Οπότε οι \({C_f}\) και \({C_g}\) έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο \( \left (1,f(1) \right ) \) την:
$$y - f\left( 1 \right) = f'\left( 1 \right)\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow $$ $$y - 1 = 2\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow $$ $$y = 2x - 1$$
Σχόλιο: Η εξίσωση \( f\left( {x_0} \right) = g\left( {x_0} \right) \) έχει και λύση και την \( x_0=-1 \) δηλαδή οι \({C_f}\) και \({C_g}\) έχουν δυο κοινά σημεία. Ωστώσο μόνο στο \( x_0=1 \) έχουν κοινή εφαπτομένη.
Άσκηση 5
Δίνονται οι συναρτήσεις $$f\left( x \right) = {x^2} - 6$$ και $$g\left( x \right) = {x^2} - 6x + 9$$. Να βρείτε τις κοινές εφαπτομένες των γραφικών παραστάσεων των f και g.
Λύση
Οι f, g είναι ορισμένες στο R και είναι παραγωγίσιμες σε αυτό με:
$$f'\left( x \right) = 2x$$ και $$g'\left( x \right) = 2x - 6$$
Έστω $$\left( \right)} \right)$$ και $$\left( \right)} \right)$$ σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και g αντίστοιχα.
Η εξίσωση εφαπτομένης της f στο $$\left( \right)} \right)$$ είναι:
$$y - f\left( \right) = f'\left( \right)\left( {x - {x_1}} \right) \Leftrightarrow $$
$$y - x_1^2 + 6 = 2{x_1}\left( {x - {x_1}} \right) \Leftrightarrow $$
$$y = 2{x_1} \cdot x - x_1^2 - 6,,\left( 1 \right)$$
Η εξίσωση εφαπτομένης της g στο $$\left( \right)} \right)$$ είναι:
$$y - g\left( \right) = g'\left( \right)\left( {x - {x_2}} \right) \Leftrightarrow $$
$$y - x_2^2 + 6{x_2} - 9 = \left( {2{x_2} - 6} \right)\left( {x - {x_2}} \right) \Leftrightarrow $$
$$y = \left( {2{x_2} - 6} \right) \cdot x + 9 - x_2^2,,\left( 2 \right)$$
Για να ταυτίζονται οι $$\left( 1 \right)$$ και $$\left( 2 \right)$$ πρέπει:
$$\left{ \matrix{ 2{x_1} = 2{x_2} - 6 \hfill \cr
- x_1^2 - 6 = 9 - x_2^2 \hfill \cr } \right. \Leftrightarrow \left{ \matrix{ {x_1} = {x_2} - 3 \hfill \cr
- {\left( {{x_2} - 3} \right)^2} - 6 = 9 - x_2^2 \hfill \cr } \right. \Leftrightarrow $$
$$\left{ \matrix{ {x_1} = {x_2} - 3 \hfill \cr
- x_2^2 + 6{x_2} - 9 - 6 = 9 - x_2^2 \hfill \cr } \right. \Leftrightarrow \left{ \matrix{ {x_1} = 4 - 3 = 1 \hfill \cr {x_2} = 4 \hfill \cr } \right.$$
Άρα τα σημεία επαφής είναι τα $$\left( {1, - 5} \right)$$ και $$\left( {4,1} \right)$$ και η ζητούμενη κοινή εφαπτομένη είναι η:
$$y - f\left( 1 \right) = f'\left( 1 \right)\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow $$
$$y + 5 = 2\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow $$
$$y = 2x - 7$$